Nein, da das Jobcenter in Erbschaftsangelegenheiten nicht eingreift.
Das ist so nicht richtig, dazu später, siehe Ausführungen zu § 33 SGB II.
Welche Urteile gibt es hierzu, wenn zu keinem Zeitpunkt das Schonvermögen erreicht ist?
Es gibt sowohl Rechtsprechung, dass keine Hilfe zu gewähren ist, z. B. LSG NRW als auch andere Auffassung, z. B. LSG Berlin-Brandenburg.
Welche Möglichkeit hat das Jobcenter?
Es kann deinen Anspruch aufs Erbe gemäß § 33 SGB II auf sich überleiten (vgl. Ausführungen des LSG Berlin-Brandenburg dazu) und den Anspruch selbst geltend machen. Oder es fordert das von dir provozierte Bürgergeld als Kostenersatz bei sozialwidrigen Verhalten (§ 34 SGB II) von dir zurück.