A) Wenn du Unterhalt bekommst, hast du es anzugeben. Wenn du keinen bekommst, dann eben null Euro. Das JC wird so oder so Trennungs- und Kindesunterhalt prüfen. Du kannst da nicht verzichten, wenn es zu Lasten Dritter geht.
B) Ob das geht, musst du mit dem Vermieter klären. Für das Jobcenter ist das eh kein Beweis, dass es zu 50% bei dir wohnt. Da musst du eine Vereinbarung zum Wechselmodell mit der Mutter machen und selbst dann braucht das Jobcenter die genauen Tage im Monat, wenn es über 12 Stunden bei dir ist.
C) Nein, kann es nicht verlangen. Aber es wird natürlich bei der Unterhaltsüberprüfung deiner Frau berücksichtigt.
D) Der Wohnsitz ändert sich doch gar nicht, die Adresse (Straße, Hausnummer) bleibt doch gleich. Dass das Wechselmodell möglich ist, kannst du doch aus den Antworten zu A bis C erkennen.
Alternative: das ist völlig egal, in welchem Mietvertrag das Kind mit steht, dessen ungeachtet, dass das Kind nicht Mieter sein sollte (Haftungsgründe) und es genug Mietverträge gibt, die gar keinen Passus zur Personenzahl enthalten. Maßgeblich ist der tatsächliche Aufenthalt des Kindes.
Tipp: das beste Mittel gegen finanzielle Nöte ist es, Geld durch Arbeit zu verdienen.