Umziehen kannst du jederzeit, es herrscht Freiheit bei der Wahl des Wohnsitzes in Deutschland. Dir geht es um die damit verbundenen Kosten und sicher auch darum, ob dein Bildungsgutschein weiter gefördert wird, wenn ein anderes Jobcenter (nicht Arbeitsamt!) zuständig wird.
Das ist aber in jedem Fall eine Einzelfallentscheidung und daher kann dir das nur das für dich zuständige Jobcenter beantworten. Hinsichtlich der Frage, ob die neuen Mietkosten angemessen sind, ist das neue Jobcenter zuständig.
Zur zweiten Frage: das war eine Zeit ohne ALG2 Bezug? Wie warst du denn da überhaupt wo versichert? Gesetzlich oder private Krankenversicherung? Ist das eine Nachzahlung zu bereits entrichteten Beiträgen oder hast du in den x Monaten gar keine Beiträge gezahlt? Du merkst, mit deinen knappen Angaben kommt man da nicht weiter.
Es gibt auch keine "die Krankenkasse" in Deutschland. Wir haben hunderte Krankenkassen, gesetzliche und private. Bei der gesetzlichen Krankenversicherung richten sich die Beiträge nach dem Gewinn. Wenn du da nie was zu deinem Einkommen aus Selbstständigkeit eingereicht hast, wurde das vielleicht geschätzt. Ob die Beitragshöhe jetzt korrekt ist oder nicht, kann man mit den paar Informationen nicht beantworten.
Ich bin mir auch im Unklaren, wieso du die Frage in einem Forum stellst, dass sich mit ALG2, ALG1 und Wohngeld beschäftigt.