1. Rechtsgrundlage ist § 22 Absatz 6 SGB II. "Vorherige Zusicherung" und "bis zum Umzug zuständigen..." sind dabei die Stichpunkte für deine Fragen.
2. Kommt darauf an, wann und wo du die Möbel benötigst. Wenn du die erst nach Umzug benötigst, dann das neue Jobcenter. Wäre auch irgendwie unlogisch, sich jetzt eine komplette Wohnungsausstattung zuzulegen, für die a) kein Platz ist und b) nur die Umzugskosten erhöht.
3. Das habe ich dir bereits beantwortet, siehe das zitierte BSG Urteil. Das ist vom Einzelfall abhängig und wieso deine alte Wohnungsausstattung untergegangen ist.
4. Wie das zuständige Jobcenter die Kosten ermittelt, ist vom jeweiligen Jobcenter abhängig. Manche haben dazu Listen, bei manchen gibt es Gutscheine für Gebrauchtmöbel usw. Das ist alles zulässig und jedes JC kann das selbst bestimmen, da das eine kommunale und keine Bundesleistung ist.
5. Bei einer Ersatzbeschaffung wird nur ein Darlehen bewilligt, was natürlich zurück gezahlt werden muss. Wahrscheinlich ist das gemeint.